题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求证:当时,
;
(Ⅱ)若存在,使
,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)所证明不等式转化为,设
, 利用导数判断函数的单调性,并利用最值证明;
(Ⅱ)首先判断函数的单调性,再分
和
两种情况求
的取值范围,当
时,
成立,求
,当
时,根据(1)的结论证明
时,
,当
时,设
,利用导数证明
,综上证明过程求
的取值范围.
解:(Ⅰ)解:的定义域为
,
,即
设,
,故
在
为增函数,
当时,
,得证.
(Ⅱ),故
的减区间为
,增区间为
,
对于,
(1)当时,
,需要
,
;
(2)当时,先证若
,有
,
(ⅰ)若,
,设
,
,
是减函数,
,
,
(ⅱ)若,设
,
是增函数,
,
,
故有,使
,
在
减,在
增,
,
,
时,
,得
由(ⅰ)(ⅱ)得,当时,
此时由于,
时,
,故
,满足题意.
综上可得,的取值范围是
.
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