Question

1．设函数y=f（x），x∈R，给出下列4个命题：
①若f（1+2x）=f（1-2x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；
②若f（x）为偶函数，且f（x+2）=-f（x），则f（x）的图象关于直线x=2对称；
③若f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），则f（x）的图象关于直线x=1对称；
④函数y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称．
其中正确命题的代号依次为①②③④．

Answer 1

分析 ①令1-2x=t，则1+2x=2-t，f（1+2x）=f（1-2x）?f（2-t）=f（t），f（t）关于t=1，从而可判断①正确；
②根据条件可得到f（4-x）=f（x），图象关于直线x=2对称，正确；
③同②可得到，f（2-x）=f（x），f（x）的图象关于直线x=1对称，正确；
④同①，用换元法可判断正确．

解答 解：①令1-2x=t，则1+2x=2-t，f（1+2x）=f（1-2x）?f（2-t）=f（t），f（t）关于t=1，从而可判断①正确；
②∵f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即f（x）是4为周期的偶函数，
∴f（4-x）=f（-x）=f（x），
∴f（x）的图象关于直线x=2对称，正确；
③∵f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），
∴f（x+2）=-f（x）=f（-x），用-x代x得：
f（2-x）=f（x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，正确；
④令x-2=t，则y=f（x-2）=f（t），y=f（2-x）=f（-t），显然y=f（t）与y=f（-t）的图象关于直线t=0，即x=2对称，正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查抽象函数及其应用，突出考查抽象函数关于直线对称问题，既有曲线自身的关于直线的对称，也有两曲线关于一直线的对称问题，关键掌握曲线关于直线x=a对称的规律：f（x）=f（2a-x），属于难题．