Question

求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
（1）经过两点（2

7

，3），（-7，-6

2

）；
（2）双曲线过点（3，9

2

），离心率e=

10

3

．

Answer 1

分析：（1）由于不清楚双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设其方程为

x2

m

-

y2

n

=1（mn＜0），然后把点的坐标分别代入该方程形成方程组，最后解方程组即可．
（2）分别设出焦点在x轴、y轴上的双曲线的方程，然后根据其过定点（3，9

2

）、离心率e=

c

a

=

10

3

、且有c²=a²+b²，则列方程组，分别解之即可．

解答：解：（1）设双曲线方程为

x2

m

-

y2

n

=1，
则

28 m - 9 n =1 49 m - 72 n =1

，解得m=25，n=75，
∴该双曲线的方程为

x2

25

-

y2

75

=1．
（2）若双曲线焦点在x轴上，设其方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
则

c a = 10 3 9 a2 - 162 b2 =1 c2=a2 +b2

，解得b²=-161（舍去）；
若双曲线焦点在y轴上，设其方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，
则

c a = 10 3 162 a2 - 9 b2 =1 c2=a2+b2

，解得a²=81，b²=9，
所以双曲线的方程为

y2

81

-

x2

9

=1．
故双曲线的方程为

y2

81

-

x2

9

=1．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程与性质，同时考查解方程组的运算能力．