Question

若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2，且f（0）=1，则f（2008）=

1. A.
   2006
2. B.
   2007
3. C.
   2008
4. D.
   2009

Answer 1

D
分析：先根据题意利用夹逼原理求出f（x+4）=f（x）+4，得到f（0），f（4），f（8），f（12）…是以f（0）=1为首项，以4为公差的等差数列，通过等差数列的通项公式求出f（2008）的值．
解答：∵对任意实数x∈R，都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2成立
∴f（x）+4≤f（x+2）+2≤f（x+4）≤f（x）+4
即f（x）+4≤f（x+4）≤f（x）+4
∴f（x+4）=f（x）+4，
所以f（0），f（4），f（8），f（12）…是以f（0）=1为首项，以4为公差的等差数列，
所以f（2008）=f（0）+（503-1）×4=2009
故选D．
点评：此题考查函数与数列的关系，及等差数列的定义，同时考查了不等式的夹逼法则，是一道综合题，有一定的难度．