Question

3．若关于x的不等式$\frac{a{x}^{2}+bx+1}{x-c}$＞0的解集是{x|-3＜x＜$\frac{1}{3}$或x＞1}，则不等式ax²+bx+c＜0的解集是$（\frac{2-\sqrt{13}}{3}，\frac{2+\sqrt{13}}{3}）$．

Answer 1

分析 将$\frac{a{x}^{2}+bx+1}{x-c}＞0$等价转化为一元二次不等式组，根据原不等式的解集和韦达定理求出a、b、c的值，再由一元二次不等式的解法求出所求的不等式的解集．

解答 解：由$\frac{a{x}^{2}+bx+1}{x-c}＞0$得，$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+bx+1＞0}\\{x-c＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+bx+1＜0}\\{x-c＜0}\end{array}\right.$，
因为$\frac{a{x}^{2}+bx+1}{x-c}＞0$的解集是{x|-3＜x＜$\frac{1}{3}$或x＞1}，
所以-3、$\frac{1}{3}$、1是方程ax²+bx+1=0和x-c=0的根，
经验证c=-3，1、$\frac{1}{3}$是ax²+bx+1=0的两个根，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{a}=1+\frac{1}{3}}\\{\frac{1}{a}=1×\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
则不等式ax²+bx+c＜0为3x²-4x-3＜0，
解得$\frac{2-\sqrt{13}}{3}＜x＜\frac{2+\sqrt{13}}{3}$，
所以不等式的解集是$（\frac{2-\sqrt{13}}{3}，\frac{2+\sqrt{13}}{3}）$，
故答案为：$（\frac{2-\sqrt{13}}{3}，\frac{2+\sqrt{13}}{3}）$．

点评 本题考查分式和一元二次不等式的解法，以及韦达定理，考查化简能力、分类讨论和转化思想．