Question

11．设函数f（x）=x²-|x²-ax+1|（a∈R），在区间（1，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（0，4]．

Answer 1

分析 若函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，则在区间（1，+∞）上，f′（x）=2x-|2x-a|＞0恒成立，分类讨论满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=x²-|x²-ax+1|（a∈R），
若函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
则在区间（1，+∞）上，f′（x）=2x-|2x-a|＞0恒成立，
即2x＞|2x-a|，
即直线y=2x在函数y=|2x-a|的图象上方，
当a=0时，在区间（1，+∞）上，2x=|2x-a|=|2x|恒成立，不满足条件；
当a＞0时，如图1所示，

$\frac{a}{4}≤1$，解得：a∈（0，4]；
当a＜0时，如图2所示，

不满足条件；
综上所述，可得a的取值范围为：（0，4]

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．