Question

四棱锥底面是平行四边形，面面,,,分别为的中点.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）二面角的余弦值为.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线面平行的判断和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.法一：第一问，先作辅助线，利用中位线证，由中点得，所以得，所以，是平行四边形，得到，所以得出结论面；第二问，先作二面角的平面角，先通过已知证明是二面角的平面角，再证明是直角三角形，在这个直角三角形中求出，再求.法二：（1）先由余弦定理证明，得，由此建系，写出各点坐标，求，求出面的法向量，由得面；（2）先求面的法向量，面的法向量，由公式，由已知二面角为锐角得出结论.
试题解析：（1）取的中点，连，由题意设，     2分
，
是平行四边形,所以    4分
面，面，∴面   6分

(2)取 的中点,连，   8分
是等边三角形，∴，

∴,
是二面角的平面角                             10分
知 面，，
在中，，                    12分
即二面角的余弦值为               14分

解法二 （1）中，，，
由余弦定理
所以，，所以，，
所以，面面，，∴面，            2分
建系，令 ，

,
         ..4分
因为平面PAB的法向量
，∴面，     ..6分
(2) 设平面PAD的法向量为  
,    8分
     10分
令所以    12分
平面的法向量   13分
，即二面角的余弦值为         14分