Question

如图，长方体中，，点E是AB的中点.

（1）证明：平面;
（2）证明：;
（3）求二面角的正切值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

试题分析：（1）证明直线和平面平行，一般方法有两种：①利用直线和平面平行的判定定理(在平面内找一条直线与之平行)，②利用面面平行的性质（如果两个平面平行，则一个平面内的直线和另一个平面平行），连接，交与点，连接，可证∥，从而平面，（2）证明直线和直线垂直，可先证明直线和平面垂直，由，从而面，所以，（3） 求二面角的平面角，可以利用几何法，先找到二面角的平面角，然后借助平面图形去计算，∵
，所以,进而可证,就是的平面角，二面角也可以利用空间向量法，建立适当的空间直角坐标系，把相关点的坐标表示出来，计算两个半平面的法向量，进而求法向量的夹角，然后得二面角的余弦值.
试题解析：（1）证明：连结AD₁交A₁D于O，连结EO，则O为AD₁的中点，又因为E是AB的中点，
所以OE∥BD₁. 又∵平面A₁DE  BD₁平面A₁DE ∴BD₁∥平面A₁DE           4分
（2）证明：由题可知：四边形ADD₁A₁是正方形∴A₁D⊥AD₁ 又∵AB⊥平面ADD₁A₁，A₁D平面ADD₁A₁
∴AB⊥AD₁ 又∵AB平面AD₁E，AD₁平面A D₁E  ABAD₁＝A，∴A₁D⊥平面AD₁E 又∵D₁E平面AD₁E ∴A₁D⊥D₁E          8分
（3）解：在△CED中，CD＝2，，，CD²=CE²+DE²  ∴CE⊥DE，又∵D₁D⊥平面ABCD  CE平面ABCD ∴CE⊥D₁D，又∵平面D₁DE  DE平面D₁DE  D₁DDE=D[，∴CE⊥平面D₁DE 又∵D₁E⊥平面D₁DE，∴CE⊥D₁E.，∴∠D₁ED是二面角D₁―ED―D的一个平面角，在△D₁ED中，∠D₁DE=90°,D₁D="1," DE= ，∴ ∴二面角D₁―ED―D的正切值是     12分