Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_na_n+1=2ⁿ，n∈N^*，则数列{a_n}的通项公式为（　　）

• A． a_n=（$\sqrt{2}$）^n-1
• B． a_n=（$\sqrt{2}$）ⁿ
• C． a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{2}）^{n}，n为奇数}\\{（\sqrt{2}）^{n-1}，n为偶数}\end{array}\right.$
• D． a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{2}）^{n-1}，n为奇数}\\{（\sqrt{2}）^{n}，n为偶数}\end{array}\right.$

Answer 1

分析 根据数列的递推关系得到$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，即所有的奇数项和偶数项分别为等比数列，根据等比数列的通项公式进行求解即可．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，且a_na_n+1=2ⁿ，n∈N^*，
∴a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，
两式相比得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，即数列中的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，
即当n是奇数时，a_n=（$\sqrt{2}$）^n-1，
偶数项是以a₂=2为首项，2为公比的等比数列，
则当n是偶数时，a_n=2（$\sqrt{2}$）^n-1=（$\sqrt{2}$^）n，
故数列的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{2}）^{n-1}，n为奇数}\\{（\sqrt{2}）^{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，
故选：D．

点评 本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列的递推关系得到$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，是解决本题的关键．