Question

13．已知sinβ+cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，且π＜β＜2π．
（1）求sinβcosβ、sinβ-cosβ的值；
（2）求sinβ、cosβ、tanβ的值．

Answer 1

分析 （1）先把已知等式两边平方，求得2sinβcosβ即sin2β的值，同时可判断出β的范围，最后利用配方法求得sinβ-cosβ．
（2）利用已知条件以及（1）的结果，直接求解即可．

解答 解：（1）∵sinβ+cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin²β+cos²β+2sinβcosβ=$\frac{1}{5}$，
∴2sinβcosβ=-$\frac{4}{5}$＜0，sinβ＜0，cosβ＞0，
∴$\frac{3π}{2}$＜β＜2π
∴sinβ-cosβ＜0，
sinβ-cosβ=-$\sqrt{1-2sinβcosβ}$=-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
（2）sinβ+cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinβ-cosβ=-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
可得sinβ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
tanβ=-2．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用，二倍角公式的应用．解题过程中巧妙的利用sin²β+cos²β=1，利用配方法来解决问题．