Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，D为C₁B的中点．
①当P为AB中点时，证明：DP∥平面ACC₁A₁；
②若AM=3MB，求异面直线DM与AC所成的角．

Answer 1

【答案】分析：①连接DP、AC₁，在△ABC₁中根据中位线定理，得DP∥AC₁，结合线面平行的判定定理，得DP∥平面ACC₁A₁；
②建立空间直角坐标系，转化为向量与的夹角求解，求出向量坐标，利用向量夹角公式即可求得，根据向量夹角与异面角的关系即可得到答案．
解答：①证明：连接DP、AC₁，
∵△ABC₁中，P、D分别为AB、BC₁中点，
∴DP∥AC₁，
∵AC₁?平面ACC₁A₁，DP?平面ACC₁A₁，
∴DP∥平面ACC₁A₁；
②如图建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），M（，，0），D（，，），
所以=（2，0，0），=（，，-），
所以cos＜，＞===，
所以＜，＞=60°，
故异面直线DM与AC所成的角为60°．
点评：本题在直三棱柱中证明线面平行、异面直线所成的角，着重考查了线面平行的判定、异面角等知识，属于中档题，用向量法求解注意向量夹角与异面直线所成角的关系，异面角的范围为（0，]．