Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点B₁在底面上的射影D落在BC上．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）当α为何值时，AB₁⊥BC₁，且使点D恰为BC中点？
（3）（理科做）当α=arccos

1

3

，且AC=BC=AA₁时，求二面角C₁-AB-C的大小．

Answer 1

（1）证明：∵B₁D⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴B₁D⊥AC
又∵BC⊥AC，B₁D∩BC=D，
∴AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）∵B₁D⊥面ABC，
∴B₁D⊥AC，
又∵AC⊥BC，BC∩B₁D=D，
∴AC⊥面BB₁C₁C．
∵AB₁⊥BC₁，
∴由三垂线定理可知，B₁C⊥BC₁，即平行四边形BB₁C₁C为菱形，
又∵B₁D⊥BC，且D为BC的中点，
∴B₁C=B₁B，即△BB₁C为正三角形，
∴∠B₁BC=60°，
∵B₁D⊥面ABC，且点D落在BC上，
∴∠B₁BC即为侧棱与底面所成的角，
∴α=60°．
（3）C₁作C₁E⊥BC，垂足为E，则C₁E⊥平面ABC．过E作EF⊥AB，垂足为F，由三垂线定理得C₁E⊥AB．
∴根据二面角平面角的定义可得：∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角．
设AC=BC=A₁A=a，
在Rt△CC₁E中，由∠C₁CE=α=arccos

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3

，可得C₁E=

2 2

3

a，
∴在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=

2

2

BE=

2 2

3

a，
∴∠C₁FE=45°．
故所求的二面角C₁-AB-C为45°．