Question

已知P是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，直线PA交直线l：x=4于点M，直线PB交直线l于点N，记直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求k₁•k₂的值；
（2）求证以MN为直径的圆恒经过两定点．

Answer 1

分析：（1）A（-2，0），B（2，0），设P（x₀，y₀），故

x02

4

+

y02

3

=1，由此能求出k₁•k₂的值．
（2）设M(4，y1)，N(4，y2)，k1=

y1

6

，k2=

y2

2

，所以y₁y₂=-9，以MN为直径的圆的方程为（x-4）（x-4）+（y-y₁）（y-y₂）=0，令y=0，解得x=1或x=7．由此能导出以MN为直径的圆恒过x轴上的两定点（1，0）和（7，0）．

解答：解：（1）A（-2，0），B（2，0），
设P（x₀，y₀），
故

x02

4

+

y02

3

=1，
即y02=

3

4

( 4-x0 2)，
k1k2=

y0

x0+2

 •

y0

x0-2

=-

3

4

．
（2）设M(4，y1)，N(4，y2)，k1=

y1

6

，k2=

y2

2

，所以y₁y₂=-9，
以MN为直径的圆的方程为（x-4）（x-4）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
令y=0，得（x-4）²+（-y₁）（-y₂）=0，解得x=1或x=7．
∴以MN为直径的圆恒过x轴上的两定点（1，0）和（7，0）．

点评：本题考查求k₁•k₂的值和求证以MN为直径的圆恒经过两定点．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．