Question

已知P是椭圆

x2

4

+y2=1上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，若△F₁PF₂的面积为

3

3

，则∠F₁PF₂等于（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

分析：设|PF₁|=m、PF₂|=n，在△F₁PF₂中根据余弦定理并结合椭圆的定义，算出mn（1+cos∠F₁PF₂）=2．由△F₁PF₂的面积为

3

3

，算出mnsin∠F₁PF₂=

2 3

3

．两式相除得到关于∠F₁PF₂的三角函数等式，化简得出sin（∠F₁PF₂-30°）=

1

2

，结合∠F₁PF₂是三角形的内角可得∠F₁PF₂的大小．

解答：解：椭圆

x2

4

+y2=1中，a=2，b=1，可得c=

a2-b2

=

3

，焦距|F₁F₂|=2

3

．
设|PF₁|=m、|PF₂|=n，根据椭圆的定义，可得m+n=2a=4，…①．
△F₁PF₂中，根据余弦定理得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
即12=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，整理得（m+n）²-2mn（1+cos∠F₁PF₂）=12，…②
将①代入②，可得16-2mn（1+cos∠F₁PF₂）=12，解得mn（1+cos∠F₁PF₂）=2，…③
又∵△F₁PF₂的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|•sin∠F₁PF₂=

3

3

，
∴

1

2

mnsin∠F₁PF₂=

3

3

，解得mnsin∠F₁PF₂=

2 3

3

，…④
③④相除，可得

1+cos∠F1PF2

sin∠F1PF2

=

3

，即1+cos∠F₁PF₂=

3

sin∠F₁PF₂，
移项得

3

sin∠F₁PF₂-cos∠F₁PF₂=1，即2sin（∠F₁PF₂-30°）=1，
∴sin（∠F₁PF₂-30°）=

1

2

结合∠F₁PF₂是三角形的内角，可得∠F₁PF₂=60°．
故选：C

点评：本题已知椭圆上点P与两焦点F₁、F₂构成的三角形的面积，求∠F₁PF₂的大小．着重考查了椭圆的定义、余弦定理和三角恒等变换等知识，属于中档题．