Question

设a,b,c为ΔABC的三边，求证：方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是∠A=90°.

Answer 1

解析：充分性：∵∠A=90°,?

∴a²=b²+c²,于是方程x²+2ax+b²=0

可化为x²+2ax+a²-c²=0,?

∴x₁=-（a+c）,x₂=c-a.?

同理,另一方程x²+2cx-b²=0可化为x²+2cx+c²-a²=0,?

可求得其两根为x₃=-（a+c）,x₄=a-c,?

故两方程有公共根x₁=x₃=-（a+c）,?

必要性：设α为两方程的公共根,?

则两式相加,

解得α=-（a+c）,

∴（a+c）²-2a（a+c）+b²=0,?

∴b²+c²=a²,

∴∠A=90°.

综上,两方程有公共根的充要条件是∠A=90°.