题目内容

设a,b,c为任意三角形三边长，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证：I2＜4S.

证明略


解析:

证明  由I2=（a+b+c）2

=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)

=a2+b2+c2+2S,

∵a,b,c为任意三角形三边长，

∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,

∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)

即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0

∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0

∴a2+b2+c2＜2S

∴a2+b2+c2+2S＜4S.

∴I2＜4S.

练习册系列答案
相关题目
有下列几个命题：①若
a
与
b
-
c
都是非零向量，则“
a
•
b
=
a
•
c
”是“
a
⊥(
b
-
c
)”的充要条件；②已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是
15
7
；③在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A（-2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，-1）；④设
a
，
b
，
c
为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足
a
与
b
不共线，
a
⊥
c
，|
a
|=|
c
|，则|
b
•
c
|的值一定等于以
a
，
b
为邻边的平行四边形的面积．其中正确命题的序号是
 
．（写出全部正确结论的序号）
已知正三棱柱ABC-A′B′C′的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为S（x），则函数S（x）的最大值为
8
8
；最小正周期为
π
3
π
3
．
说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．
已知正三棱柱ABC-A′B′C′的正视图和侧视图如图所示．设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O、O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转（包括逆时针方向和顺时针方向），射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积记为S（x），则函数S（x）的最大值和最小正周期分别是（　　）

函数f (x)的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数 .  设函数f (x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：

①；② ；③，则等（　）

A.              B.                 C. 1                 D. 

 

函数f (x)的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数. 设函数f (x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：1；  2； 3.

则等于（    ）

A.                   B.                     C.  1                    D.

 

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