Question

19．在平行四边形ABCD中AB=4，AD=3，P为边BC上的一点，$\overrightarrow{BP}+2\overrightarrow{CP}=\overrightarrow 0$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DP}=20$，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=18．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{BP}+2\overrightarrow{CP}=\overrightarrow 0$，可得$\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{PC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，代入$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DP}=20$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$．化简即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{BP}+2\overrightarrow{CP}=\overrightarrow 0$，∴$\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{PC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DP}=20$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$．
∴20=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DP}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}）$•$（\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CP}）$=$（\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}）$•$（\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}）$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{9}{\overrightarrow{AD}}^{2}$=16+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{9}×{3}^{2}$，
解得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=18．
故答案为：18．

点评 本题考查了向量共线定理、三角形法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．