Question

6．在直角坐标系xoy中，直角l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tsinα}\\{y=\sqrt{5}+tcosα}\end{array}\right.$，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，$\sqrt{5}$），当$\frac{π}{4}$≤α≤$\frac{π}{3}$时，求|PA|-|PB|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化方法求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）利用参数的几何意义，求|PA|-|PB|的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由圆C的方程为ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，可得ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x²+y²=2$\sqrt{5}$y；
（Ⅱ）直角l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tsinα}\\{y=\sqrt{5}+tcosα}\end{array}\right.$，与圆C的直角坐标方程联立，
可得t²+6tsinα+4=0
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则|PA|-|PB|=t₁+t₂=-6sinα，
∵$\frac{π}{4}$≤α≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sinα≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-3$\sqrt{3}$≤-6sinα≤-3$\sqrt{2}$，
∴|PA|-|PB|的取值范围是[-3$\sqrt{3}$，-3$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．