Question

（2013•合肥二模）若以曲线y=f（x）任意一点M（x，y）为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N（x₁ y₁），以点N为切点作切线l₁，且l∥l₁，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为

②③

．（写出所有满足条件的函数的编号）
①y=x³-x    
②y=x+

1

x

   
③y=sina
④y=（x-2）²+lnx．

Answer 1

分析：根据导数的几何意义，将定义转化为：“方程y′=a（a是导数值）至少有两个根”，利用：y′=-1时，x的取值唯一判断①不符合；对于②和③分别求出导数列出方程化简后判断；对于④求出导数化简后，再由△=0时解唯一判断④不符合．

解答：解：由题意得，曲线具有可平行性的条件是：方程y′=a（a是导数值）至少有两个根，
①、由y′=3x²-1知，当y′=-1时，x的取值唯一，只有0，不符合题意；
②、由y′=1-

1

x2

=a（x≠0且a≠1），即

1

x2

=1-a，此方程有两不同的个根，符合题意；
③、由y'=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（-1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意；
④、由y'=2x-4+

1

x

（x＞0），令2x-4+

1

x

=a，则有2x²-（4+a）x+1=0，当△=0时解唯一，不符合题意，
故答案为：②③．

点评：本题考查了导数的几何意义，关键是将定义正确转化为：曲线上至少存在两个不同的点，对应的导数值相等，综合性较强，考查了转化思想．