Question

在平面坐标系xOy中，直线l：y=2x+m（0＜m＜1）与圆x²+y²=1相交于A，B（A在第一象限）两个不同的点，且∠xoA=α，∠AOB=β，则sin（2α+β）的值是（　　）

• A、-

  4

  5

• B、

  4

  5

• C、-

  4

  3

• D、

  4

  3

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：三角函数的求值

分析：把直线与圆的方程联立得到关于x与y的二元二次方程组，求出方程组的解即可得到交点A和B的坐标，然后根据α为第一象限的角，由点A的坐标分别求出sinα和cosα的值，β为第三象限的角，由点B的坐标分别求出sinβ和cosβ的值，最后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答： 解：由任意角的三角函数的定义可知A（cosα，sinα）；
B（cos（α+β），sin（α+β））；
不妨x₁=cosα，y₁=sinα，x₂=cos（α+β），y₂=sin（α+β）
联立得：

y=2x+m x2+y2=1

解得：5x²+4mx+m²-1=0，
∴x₁•x₂=cosαcos（α+β）=

m2-1

5

，x₁+x₂=cosα+cos（α+β）=

-4m

5

，
y₁•y₂=sinα•sin（α+β）=4x₁x₂+2m（x₁+x₂）+m²=

4m2-4

5

-

8m2

5

+m²=

m2-4

5

，
则cos（2α+β）=cosαcos（α+β）-sinαsin（α+β）=

m2-1

5

-

m2-4

5

=

3

5

．
∴sin（2α+β）=-

1-cos2(2α+β)

=-

4

5

．
故选：A．

点评：此题考查学生掌握象限角的三角函数值的求法，灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．