Question

已知函数f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-2．
（1）将函数f（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式，并求出f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[π，

17π

12

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简得f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）-

3

2

．再由三角函数的周期公式，即可得到f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[π，

17π

12

]，可得f（x）在[π，

5π

4

]上是减函数，在[

5π

4

，

17π

12

]上是增函数．由此可得当x=

5π

4

时，f（x）有最小值-

3+ 2

2

．

解答：解：（1）∵sin

x

2

cos

x

2

=

1

2

sinx，cos2

x

2

=

1

2

(1+cosx)
∴f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-2
=

1

2

sinx+

1

2

cosx-

3

2

=

2

2

sin（x+

π

4

）-

3

2

．
函数的最小正周期T=

2π

1

=2π；
（2）由π≤x≤

17

12

π，得

5

4

π≤x+

π

4

≤

5

3

π．
∵f（x）=

2

2

sin(x+

π

4

)-

3

2

在[π，

5π

4

]上是减函数，在[

5π

4

，

17π

12

]上是增函数．
故当x=

5π

4

时，f（x）有最小值-

3+ 2

2

．

点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期与闭区间上的最小值．着重考查了三角的图象与性质和三角恒等变换的知识，属于中档题．