Question

(1)已知抛物线y²=2px(p＞0),过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,求证: ·为定值;

(2)由(1)可知:过抛物线的焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,存在定点P,使得PA·PB为定值.请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.

Answer 1

(1)证法一:若直线l垂直于x轴,则A(,p)、B(,-p).

·=()²-p²=-.                                             

若直线l不垂直于x轴,设其方程为y=k(x-),A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

由得k²x²-p(2+k²)x+k²=0.

∴x₁+x₂=,x₁x₂=.                                           

∴·=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²(x₁-)(x₂-)

=(1+k²)x₁x₂-k²(x₁+x₂)+

=(1+k²)-·+=-.

综上, ·=-为定值.                                      

证法二:设直线l的方程为x=my+,A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).                     

由得y²-2pmy-p²=0.

∴y₁+y₂=2pm,y₁y₂=-p².                                                

∴·=x₁x₂+y₁y₂=(my₁+)(my₂+)+y₁y₂=(1+m²)y₁y₂+m(y₁+y₂)+

=(1+m²)(-p²)-·2pm+=-.

∴·=-为定值.                                       

(2)解:关于椭圆有类似的结论:过椭圆=1(a＞b＞0)的一个焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点,存在定点P,使为定值.                              

证明:不妨设直线l过椭圆=1的右焦点F(c,0)(其中c=).

若直线l不垂直于x轴,则设其方程为y=k(x-c),A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

由得(a²k²+b²)x²-2a²ck²x+(a²c²k²-a²b²)=0.

所以x₁+x₂=,x₁x₂=.                           

由对称性可知,设点P在x轴上,其坐标为(m,0).

所以=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂

=(1+k²)x₁x₂-(m+ck²)(x₁+x₂)+m²+c²k²

=(1+k²)-(m+ck²)+m²+c²k²

=.

要使为定值,只要a⁴-a²b²-b⁴+a²m²-2a²cm=a²(m²-a²),

即m===.

此时 =m²-a²==.      

若直线l垂直于x轴,则其方程为x=c,A(c,),B(c,).取点P(,0),

有=［-］²-=.             

综上,过焦点F(c,0)的任意直线l交椭圆于A、B两点,存在定点P(,0),

使=为定值.