Question

已知抛物线y²=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．

Answer 1

分析：设出点P（x，y）和点B（X，Y），由定比分点公式得到这两个坐标的关系．即用x，y来表示X，Y．再根据B点在抛物线上，满足抛物线方程，即可得x，y的关系，亦即轨迹方程，进而进一步判断曲线类型．

解答：解：设点B的坐标（X，Y），点P的坐标为（x，y），则
x=

X+ 1 2 ×3

1+ 1 2

=

2X+3

3

，y=

Y+ 1 2 ×1

1+ 1 2

=

2Y+1

3

∴X=

3

2

(x-1)，(1)Y=

1

2

(3y-1)，(2)
∵点B在抛物线上，∴Y²=X+1，
将（1），（2）代入此方程，得
[

1

2

(3y-1)]2=

3

2

(x-1)+1
化简得3y²-2y-2x+1=0，
即x=

3

2

y2-y+

1

2

，
因此轨迹为抛物线

点评：在求解轨迹方程的问题时，一般都是“求什么设什么”的方法，再利用题中的条件列出等式即可得到轨迹方程，这也是高考中学生不易把握的一个知识点．