Question

（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=

2

2

．
（1）证明：DE∥平面BCF；
（2）证明：CF⊥平面ABF；
（3）当AD=

2

3

时，求三棱锥F-DEG的体积V_F-DEG．

Answer 1

分析：（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得

AD

DB

=

AE

EC

，在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．
（2）由条件证得AF⊥CF ①，且BF=CF=

1

2

．在三棱锥A-BCF中，由BC=

2

2

，可得BC²=BF²+CF²，从而 CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．
（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由 VF-DEG=VE-DFG=

1

3

•

1

2

•DG•FG•GE，运算求得结果．

解答：解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴

AD

DB

=

AE

EC

，在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，
∴DE∥BC．
又∵DE?平面BCF，BC?平面BCF，
∴DE∥平面BCF．
（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且BF=CF=

1

2

．
∵在三棱锥A-BCF中，BC=

2

2

，∴BC²=BF²+CF²，∴CF⊥BF②．
又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．
（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．
∴VF-DEG=VE-DFG=

1

3

•

1

2

•DG•FG•GE=

1

3

•

1

2

•

1

3

•(

1

3

•

3

2

)•

1

3

=

3

324

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．