Question

已知x，y∈R⁺，且x+4y+xy=5，求xy的最大值，并求xy取最大值时x、y的值．

Answer 1

分析：由基本不等式可得x+4y≥2

4xy

 即 5-xy≥4

xy

，解得xy≤1，当且仅当 x=4y 即 x=2，y=

1

2

 时，xy取最大值

解答：解：∵x，y∈R⁺，且x+4y+xy=5，…（1分）
∴x+4y≥2

4xy

 即 5-xy≥4

xy

，…（5分）
∴xy+4

xy

-5≤0，
∴（

xy

+5）（

xy

-1）≤0．
∵（

xy

+5）＞0，
∴xy≤1．  …（9分）
当且仅当 x=4y 即 x=2，y=

1

2

 时，xy取最大值为1．  …（13分）

点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．