题目内容

已知向量 $数学公式$ ，在函数 $数学公式$ 的图象上，对称中心到对称轴的最小距离为 $数学公式$ ，且当 $数学公式$ 时f（x）的最小值为 $数学公式$ ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若对任意x₁，x₂∈[0， $数学公式$ ]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，求实数m的取值范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由题意可得 $\text{[math]}$ ，∴ω=1．
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
又f（x）的最小值为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ +t，
∴ $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ．
（2）令 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即单调递增区间为： $\text{[math]}$ ．
（3）当 $\text{[math]}$ 时，f（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，最小值为 $\text{[math]}$ ，
∴|f（x₁）-f（x₂）|的最大值为 $\text{[math]}$ =3．
∵对任意x₁，x₂∈[0， $\text{[math]}$ ]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，
∴m＞3，即实数m的取值范围为（3，+∞）．
分析：（1）化简函数 $\text{[math]}$ 的解析式，根据它的 $\text{[math]}$ 周期等于 $\text{[math]}$ ，求出ω的值，再根据当 $\text{[math]}$ 时f（x）的最小值为 $\text{[math]}$ ，求出t的值，即可得到f（x）的解析式．
（2）令 $\text{[math]}$ ，解出x的范围，即可得到单调递增区间．
（3）当 $\text{[math]}$ 时，求得f（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ，最小值为 $\text{[math]}$ ，可得|f（x₁）-f（x₂）|的最大值为3，由此得到实数m的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的定义，正弦函数的定义域和值域、周期性及单调性的应用，属于中档题．