Question

  (本小题12分)

设，对于有穷数列(…，), 令为…，中的最大值，称数列为的“创新数列”. 数列中不相等项的个数称为的“创新阶数”. 例如数列的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.

考察自然数…，的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.

（Ⅰ）若, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列；

(Ⅱ) 是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列有两个，即：

（1）数列3，4，1，5，2；  ………………………………  3分

（2）数列3，4，2，5，1.         ………………………  5分

        （Ⅱ）解：设数列的创新数列为，

因为为中的最大值. 所以.

由题意知：为中最大值，为中最大值，

       所以，且.                       

若为等差数列，设其公差为d，

则，且     ……………………… ……  7分

        当d=0时，为常数列，又，所以数列为，

此时数列是首项为m的任意一个符合条件的数列；………  8分

        当d=1时，因为，所以数列为，

此时数列是；           ………………………  9分

        当时，因为，又，所以，

这与矛盾，所以此时不存在，

即不存在使得它的创新数列

为的等差数列.               ………………………  11分

综上，当数列为首项为m的任意符合条件的数列或为数列时，

它的创新数列为等差数列.  …………………………