Question

（2005•朝阳区一模）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，E是A₁C的中点，ED⊥A₁C且交AC于D，A₁A=AB=

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BC．
（Ⅰ）证明：B₁C₁∥平面A₁BC；
（Ⅱ）证明：A₁C⊥平面EDB；
（Ⅲ）求二面角B-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

分析：（I）利用三棱柱的性质和线面平行的判定定理即可得出；
（II）利用已知可得BC=A₁B，利用定义三角形的性质可得A₁C⊥BE，又已知A₁C⊥ED，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（III）由（II）的结论可知：∠DEB是二面角B-A₁C-A的平面角．再利用面面垂直的性质和线面垂直的性质定理可得BD⊥ED．在Rt△EDB中，利用边角关系求出即可．

解答：（I）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中B₁C₁∥BC，
又BC?平面A₁BC，且B₁C₁?平面A₁BC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC．
（II）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中A₁A⊥AB，∴Rt△A₁AB中AB=

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A1B．
∴BC=A₁B，∴△A₁BC是等腰三角形．
∵E是等腰△A₁BC底边A₁C的中点，∴A₁C⊥BE，
又依条件知A₁C⊥ED，
且ED∩BE=E，
∴A₁C⊥平面EDB．
（III）解：∵由（II）结论可知A₁C⊥平面EDB，
∴A₁C⊥EB，A₁C⊥ED，
∴∠DEB是二面角B-A₁C-A的平面角．
由A₁C⊥平面EDB，∴A₁C⊥BD，
又∵A₁A⊥BD，AA₁∩A₁C=A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，∴BD⊥ED
设AA₁=a，则易求得ED=

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a，EB=a，
∴在Rt△EDB中，cos∠DEB=

ED

EB

=

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．
即所求二面角的余弦值是

3

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．

点评：熟练掌握直三棱柱的性质、线面平行与垂直的判定和性质定理、二面角的定义、等腰三角形的性质等是解题的关键．