Question

（2010•福建）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）已知矩阵M=，，且，

（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；

（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，

求|PA|+|PB|．

（3）已知函数f（x）=|x﹣a|．

（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：选作题1：（Ⅰ）由矩阵MN的表达式，把他们相乘使左边等于右边既可求解实数a，b，c，d的值．

（Ⅱ）矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线，可选直线y=3x上的两点做矩阵M所对应的线性变换下的像，即可确定原直线的像．

选做题2：（Ⅰ）由极坐标转化为直线坐标方程．

（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的直角坐标系，根据根与系数关系求出两实根的关系式，再有t的几何意义求解．

选做题3：（Ⅰ）首先把函数的参数表达式≤3，解不等式求出a的值．

（Ⅱ）由上题解得的当a=2时，f（x）=|x﹣2|，可设函数g（x）=f（x）+f（x+5），求出g（x）的函数表达式使其≥m对一切实数x恒成立．求解M的范围．

（1）选修1：【解析】
（Ⅰ）由题设得，解得；

（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），

由，，

得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的变换下的线的像是（0，0），（﹣2，2），

从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=﹣x．

（2）选修2：【解析】
（Ⅰ）由ρ=2sinθ得x2+y2﹣2y=0，即=5．

（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得=5，

即t2﹣3t+4=0，

由于﹣4×4=2＞0，

故可设t1，t2是上述方程的两实根，

所以，

又直线l过点P（3，），

故由上式及t的几何意义得：

|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．

（3）选修3：【解析】
（Ⅰ）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3，

又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，

所以，解得a=2．

（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，

设g（x）=f（x）+f（x+5），

于是g（x）=|x﹣2|+|x+3|=，

所以，当x＜﹣3时，g（x）＞5；

当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；

当x＞2时，g（x）＞5．