Question

18．已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：x²+y²-6x+12y+20=0相交于A，B两点，当线段AB最短时直线l的方程为x+3y+5=0．

Answer 1

分析 直线过定点，根据直线和圆相交的性质确定线段AB最短时的等价条件即可．

解答 解：将直线l变形得：2m（x-4）+（y+3）=0，
由x-4=0，y+3=0得x=4，y=-3，即直线L恒过A（4，-3），
将圆C化为标准方程得：（x-3）²+（y+6）²=25，
∴圆心C为（3，-6），半径r=5，
∵点A到圆心C的距离d=$\sqrt{（4-3）^{2}+（-3+6）^{2}}$=$\sqrt{10}$＜5=r，
∴点A在圆内，
则L与C总相交；
若线段AB最短，则满足CA⊥L，
∵直径AC所在直线方程的斜率为$\frac{-3+6}{4-3}$=3，
∴此时l的斜率为-$\frac{1}{3}$，
则直线方程为y+3=-$\frac{1}{3}$（x-4），
即x+3y+5=0，
故答案为：x+3y+5=0．

点评 本题主要考查直线与圆相交的性质，考查恒过定点的直线方程，圆的标准方程的应用，要求熟练掌握直线和圆相交的性质．