Question

(南通中学模拟)设定义在上的函数y=f(x)的图象为C，C的端点为点A、B，M是C上的任意一点，向量

，若，记向量．现在定义“函数y=f(x)在上可在标准k下线性近似”是指恒成立，其中k是一个人为确定的正数．

(1)证明：0≤λ≤1；

(2)请你给出一个标准k的范围，使得[0，1]上的函数与中有且只有一个可在标准k下线性近似．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由题意，，即， ∵，∴0≤λ≤1． (2)由得到，所以B、N、A三点在一条直线上，又由(1)的结论，N在线段AB上且与点M的横坐标相同．对于[0，1]上的函数，A(0，0)，B(1，1)，则有故；对于[0，1]上的函数，则有，在(0，1)上，，可知在(0，1)上，y=g(x)只有一个极大值点，所以函数y=g(x)在上是增函数；在上是减函数， 又，故．经过比较，，所以取．则有函数在[0，1]上可在标准k下线性近似，函数在[0，1]上不可在标准k下线性近似．