Question

P是△ABC内的一点，

AP

=

1

3

（

AB

+

AC

），则△ABC的面积与△ABP的面积之比为（　　）

• A．3
• B．6
• C．2
• D．

  3

  2

Answer 1

分析：作出△ABC的BC边上的中线AD，如图所示．由向量加法法则与三角形中线的性质算出

AP

=

2

3

AD

，得到P是AD的一个三等分点．分别作DE⊥AB于E、PF⊥AB于F，利用平行线的性质和三角形面积公式算出S_△ABP=

2

3

S_△ABD，由AD是△ABC的中线得S_△ABD=

1

2

S_△ABC，可得S_△ABP=

1

3

S_△ABC，由此可得△ABC的面积与△ABP的面积之比．

解答：解：设D为BC中点，连结AD，可得
∵

AP

=

1

3

（

AB

+

AC

），

AD

=

1

2

（

AB

+

AC

），
∴

AP

=

2

3

AD

，即P是AD上靠近D点的一个三等分点．
分别过D、P作AB的垂线，垂足分别为E、F，则PF∥DE，
∴

PF

DE

=

AP

AD

=

2

3

，可得

S△ABP

S△ABD

=

1 2 ×AB×PF

1 2 ×AB×DE

=

PF

DE

=

2

3

，
得S_△ABP=

2

3

S_△ABD，
∵AD是△ABC的中线，可得S_△ABD=

1

2

S_△ABC，
∴S_△ABP=

2

3

×

1

2

S_△ABC=

1

3

S_△ABC．
因此，△ABC的面积与△ABP的面积之比为3．
故选：A

点评：本题给出△ABC内部一点P满足的向量式，求△ABC的面积与△ABP的面积之比．着重考查了向量的加法法则、三角形的中线的性质和三角形面积公式等知识，属于中档题．