Question

15．已知点是F双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过左焦点F作直线与圆心为原点、半径为实半轴长的一半的圆相切于点E，直线FE交双曲线的右支于点P，点B是直线FE外任意一点，且2$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{BP}$，则双曲线的离心率为$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．

Answer 1

分析 由2$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{BP}$，可知E为FP的中点，根据中位线定理求得丨F₁P丨=a，利用双曲线的定义求得丨FP丨=3a，由勾股定理即可求得2c=$\sqrt{10}a$，再利用双曲线的离心率公式即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知：2$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{BP}$，
∴E为FP的中点，
由OF=OF₁，
∴OE为△FF₁P的中位线，
由直线FP与圆O相切，OE=$\frac{1}{2}$a，
∴OE⊥FP，
∴丨F₁P丨=a，△FF₁P为直角三角形，
根据双曲线的定义可知：丨FP丨-丨F₁P丨=2a，
丨FP丨=3a，
∴丨FF₁丨=$\sqrt{（3a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{10}a$
∴2c=$\sqrt{10}a$
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单几何，离心率公式，考查三角形的中位线定理，直线与圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题．