Question

【题目】【2018河南南阳市一中上学期第三次月考】已知点为坐标原点， 是椭圆上的两个动点，满足直线与直线关于直线对称．

（I）证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；

（II）求的面积最大时直线的方程．

Answer 1

【答案】（I）直线的斜率为定值，其值为；（II），或．

【解析】试题分析：（1）联立直线和椭圆，解出两个的交点坐标，用两点坐标解出直线斜率；（2）联立直线和椭圆根据弦长公式得到.

再根据点到直线的距离得到，此时面积为，进而得到结果。

解析：

（1）设直线方程为： ，代入得

设，因为点在椭圆上，所以

又由题知，直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得

，

所以直线的斜率

即直线的斜率为定值，其值为.

（2）由（1）可设直线方程为： ，代入得

，则.由可得.

， 到直线的距离，

可得，

当且仅当（满足），即时取等，此时直线的方程为： ，或.