Question

【题目】设，函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值，若不存在，请说明理由；

（3）设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，直线的斜率为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）当时， 的单调递增区间为；当时， 的单调递增区间为

（2）时， 无极值； ， 有极大值，无极小值.（3）见解析.

【解析】试题分析：

本题考查导数在研究函数中的应用以及不等式的证明。（1）求导后根据导函数的符号判断求解。（2）由题意得，求导数后根据函数的单调性求极值即可。（3）由题意要证，即证，即证，即证，令， ，故只需证，构造函数根据单调性证明即可。

试题解析：

（1）解：函数的定义域为上，

由题意得。

①当时，则恒成立， 上单调递增。

②当时，由，得，

∴的单调递增区间为。

综上可得，当时， 的单调递增区间为；当时， 的单调递增区间为

（2）由题意得，

∴

当时，恒有， 在单调递增，故无极值；

当时，令，得

当， ， 单调递增；

当， ， 单调递减.

∴当时， 有极大值，且极大值为，无极小值。

综上所述，当时， 无极值；当， 有极大值，无极小值.

（3）证明：由题意得

又，

∴。

要证，即证，

设，

即证，

即证

设，只需证

即证，

设，

则

∴在上单调递增，

因此，

∴。

∴成立.