Question

设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若x∈[0，π），求函数f（x）=sin（x-B）+sinx的值域．

Answer 1

分析：（I）由正弦定理化简已知等式，利用两角和正弦公式得到sin（B+C）=2sinAcosB，结合sin（B+C）=sinA为正数可得cosB=

1

2

，可得角B的大小．
（II）化简得f（x）=

3

sin(x-

π

6

)，由x∈[0，π）利用正弦函数的图象与性质，可得函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB…（2分）
移项得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB…（4分）
∵sin（B+C）=sinA≠0，∴2cosB=1，可得cosB=

1

2

．（5分）
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

…（6分）
（Ⅱ）∵B=

π

3

，
∴f(x)=sin(x-

π

3

)+sinx=sinxcos

π

3

-cosxsin

π

3

+sinx
=

3

2

sinx-

3

2

cosx=

3

sin(x-

π

6

)…（9分）
∵x∈[0，π），可得-

π

6

≤x-

π

6

＜

5π

6

，
∴sin(x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]…（11分）
故函数f（x）的值域是[-

3

2

，

3

]．（12分）

点评：本题给出三角形的边角关系，求B的大小并依此求一个三角函数式的值域．着重考查了正弦定理、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．