Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB=90°，PA=AB=BC=3，AD=1．
（ I）设点E在线段PC上，若$\frac{PE}{EC}=\frac{1}{2}$，求证：DE∥平面PAB；
（ II）求证：平面PBC⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在PB上取一点F，满足$\frac{PF}{FB}=\frac{1}{2}$，连接EF，AF，可得EF∥BC，且$EF=\frac{1}{3}BC$，又AD∥BC，BC=3，AD=1，可得四边形ADEF为平行四边形，得DE∥AF，由线面平行的判定可得DE∥平面PAB；
（Ⅱ）由AD∥BC，∠DAB=90°，可得BC⊥AB，再由PA⊥底面ABCD，得BC⊥PA，由线面垂直的判定可得BC⊥平面PAB，进一步可得平面PBC⊥平面PAB．

解答 证明：（Ⅰ）∵$\frac{PE}{EC}=\frac{1}{2}$，∴在PB上取一点F，满足$\frac{PF}{FB}=\frac{1}{2}$，并连接EF，AF，
∵$\frac{PE}{EC}=\frac{PF}{FB}=\frac{1}{2}$，∴EF∥BC，且$EF=\frac{1}{3}BC$，
又AD∥BC，BC=3，AD=1，
∴EF∥AD，且EF=AD=1，
∴四边形ADEF为平行四边形，得DE∥AF，
又DE?面PAB，AF?面PAB，
∴DE∥平面PAB；
（Ⅱ）∵AD∥BC，∠DAB=90°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，
又PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴BC⊥PA，
又AB，PA是平面PAB上两相交直线，
∴BC⊥平面PAB，
又BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．

点评 本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．