Question

已知定点A（1，0）和直线x=-1上的两个动点E，F，且，动点P满足∥,∥（其中O为坐标原点）.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知点B（a，0），过点B的直线与轨迹C交于两个不同的点M，N，若∠MON为锐角，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（1）设P(x,y)，则由已知得E(-1,y)，=(-2,y),设F(-1,b,)，则=(-2,b), =(1,-b)，

∵,∴4+yb=0yb=-4，由∥y+bx=0，

∴所求轨迹方程为y²=4x(x≠0).

（2）设过点B(a,0)的直线方程为x=ty+a，

代入方程y²=4x中得：y²-4ty-4a=0，设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)，则y₁y₂=-4a.

∵∠MON是锐角，则＞0，即x₁x₂+y₁y₂==a²-4a＞0，

所以a＞4或a＜0