Question

已知定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y）
（Ⅰ）若M到点A的距离与M到直线l的距离之比为

5

5

，试求M的轨迹曲线C₁的方程．
（Ⅱ）若曲线C₂是以C₁的焦点为顶点，且以C₁的顶点为焦点，试求曲线C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设d是点M到直线l：x=5的距离，由题意得：

(x-1)2+y2

|5-x|

=

5

5

，由此能求出M的轨迹曲线C₁的方程．
（Ⅱ）由题意可知曲线C₂是双曲线，设方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1因为椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的顶点是（(±

5

，0)，焦点是（±1，0）所以双曲线的顶点是（±1，0），焦点是(±

5

，0)，由此能求出曲线C₂的方程．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设d是点M到直线l：x=5的距离，由题意得：

(x-1)2+y2

|5-x|

=

5

5

将上式两边平方，并化简，得

4

5

x2+y2=4
即M的轨迹曲线C₁的方程是椭圆：

x2

5

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）由题意可知曲线C₂是双曲线，设方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1
因为椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的顶点是（(±

5

，0)，焦点是（±1，0）
所以双曲线的顶点是（±1，0），焦点是(±

5

，0)
于是a=1，c=

5

所以 b²=c²-a²=5-1=4
所以曲线C₂的方程是x2-

y2

4

=1

点评：本题考查曲线方程的求法，具体涉及到椭圆和双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，直线和圆锥曲线的位置关系．解题时要认真审题，仔细解答．