题目内容
已知定点A（1，0）和定直线x=-1上的两个动点E、F，满足
⊥
，动点P满足
∥
，
∥
（其中O为坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点B（0，2）的直线l与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若
•
＜0，求直线l的斜率的取值范围．
| AE |
| AF |
| EP |
| OA |
| FO |
| OP |
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点B（0，2）的直线l与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若
| AM |
| AN |
分析：（1）用坐标表示出
、
的坐标，利用
⊥
即得动点P的轨迹方程；
（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及
•
＜0，利用数量积公式，即可求得直线l的斜率的取值范围．
| AE |
| AF |
| AE |
| AF |
（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及
| AM |
| AN |
解答：解：（1）设P（x，y），E（-1，y1），F（-1，y2）（y1、y2均不为0）
由
∥
得y1=y，即E（-1，y）
由FO∥OP得 y2=-
，即F（-1，-
）
∵
⊥
，∴
•
=0
∴（-2，y1）•（2，y2）=0
∴y1y2=-4，∴y2=4x（x≠0）
∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≠0）
（2）设直线l的方程y=kx+2（k≠0），M（
，y1），N（
，y2）
联立得
消去x得ky2-4y+8=0
∴ y1+y2=
， y1y2=
，且△=16-32k＞0即k＜
．
∴
•
=（
-1，y1）•（
-1，y2）=（
-1）•（
-1）+y1y2
=
-
(y12+y22)+1=
-
(
-
)+
+1=
∵
•
＜0，∴-12＜k＜0，满足k＜
，
∴-12＜k＜0．
由
| EP |
| OA |
由FO∥OP得 y2=-
| y |
| x |
| y |
| x |
∵
| AE |
| AF |
| AE |
| AF |
∴（-2，y1）•（2，y2）=0
∴y1y2=-4，∴y2=4x（x≠0）
∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≠0）
（2）设直线l的方程y=kx+2（k≠0），M（
| y12 |
| 4 |
| y22 |
| 4 |
联立得
|
∴ y1+y2=
| 4 |
| k |
| 8 |
| k |
| 1 |
| 2 |
∴
| AM |
| AN |
| y12 |
| 4 |
| y22 |
| 4 |
| y12 |
| 4 |
| y22 |
| 4 |
=
| y12y22 |
| 16 |
| 1 |
| 4 |
| 4 |
| k2 |
| 1 |
| 4 |
| 16 |
| k2 |
| 16 |
| k |
| 8 |
| k |
| k+12 |
| k |
∵
| AM |
| AN |
| 1 |
| 2 |
∴-12＜k＜0．
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
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