Question

如图，已知定点A（1，0），定圆C：（x+1）²+y²=8，M为圆C上的一个动点，点P在线段AM上，点N在线段CM上，且满足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，则点N的轨迹方程是

 

．

Answer 1

分析：由 

AM

=  2

AP

，得P 为AM的中点，由

NP

•

AM

= 0，得NP⊥AM，故 NP为线段AM的中垂线，可得
NM+NC=2

2

（半径），点N的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，从而求得点N的轨迹方程．

解答：解：C（-1，0），∵

AM

=  2

AP

，∴P 为AM的中点．∵

NP

•

AM

= 0，∴NP⊥AM．
故 NP为线段AM的中垂线，∴NM=NA．∵NM+NC=2

2

（半径），∴NA+NC=2

2

＞AC=2，
根据椭圆的定义可得，点N的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，a=

2

，c=1，∴b=1．
则点N的轨迹方程是   

x2

2

+y2=1，
故答案为：

x2

2

+y2=1．

点评：本题考查轨迹方程的求法，椭圆的定义，判断点N的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，是解题的关键．