Question

14．设x∈[2，8]，求函数f（x）=$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$x）•log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{4}$x）的最值，并求出相应的x值．

Answer 1

分析 由对数运算性质得f（x）=$\frac{1}{2}$log²${\;}_{\frac{1}{2}}$x+$\frac{3}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1，使用换元法转化成二次函数求最值．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$x）•log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{4}$x）
=$\frac{1}{2}$（1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）•（2+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）
=$\frac{1}{2}$log²${\;}_{\frac{1}{2}}$x+$\frac{3}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1
∵x∈[2，8]，
∴log${\;}_{\frac{1}{2}}$x∈[-3，-1]．
设t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，则f（x）=g（t）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+1
∴g（t）在[-3，-$\frac{3}{2}$]上单调递减，在[-$\frac{3}{2}$，-1]上单调递增．
∴当t=-$\frac{3}{2}$，即x=2$\sqrt{2}$时，g（t）取得最小值g（-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{8}$；
当t=-3，即x=8时，g（t）取得最大值g（-3）=1；
∴当x=2$\sqrt{2}$时，f（x）取得最小值-$\frac{1}{8}$；
当x=8时，f（x）取得最大值1．

点评 本题考查了函数的单调性与最值，涉及换元法，属于中档题．