Question

5．设$a＞\frac{2}{3}$，且$x∈[-\frac{a}{2}，-\frac{1}{3}]$时，|3x+1|-|2x+a|＜-4x-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得a＞-x+1对$x∈[-\frac{a}{2}，-\frac{1}{3}]$恒成立，再根据利用函数的单调性求函数函数y的最大值为$\frac{a}{2}$+1，可得$\frac{1}{2}a+1＜a$，由此解得a的范围．

解答 解：当$a＞\frac{2}{3}，且x∈[{-\frac{a}{2}，-\frac{1}{3}}]$ 时，|3x+1|-|2x+a|=-5x-a-1，
不等式|3x+1|-|2x+a|＜-4x-2化为-5x-a-1＜-4x-2，
即a＞-x+1对$x∈[-\frac{a}{2}，-\frac{1}{3}]$恒成立．
∵函数y=-x+1是减函数，故函数y的最大值为$\frac{a}{2}$+1，
∴$\frac{1}{2}a+1＜a$，解得a＞2，又∵$a＞\frac{2}{3}$，∴实数a的取值范围（2，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．