Question

4．已知椭圆方程C：$\frac{{x}^{2}}{m-2}$+$\frac{{y}^{2}}{7-m}$=1
（I）求实数m的取值范围；
（II）当m=6时，若椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，直线l过椭圆的左焦点F₁并且与椭圆C交于A，B两点，求△ABF₂的周长．

Answer 1

分析 （I）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{m-2＞0}\\{7-m＞0}\\{m-2≠7-m}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）当m=6时，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，则△ABF₂周长L=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a．

解答 解：（I）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{m-2＞0}\\{7-m＞0}\\{m-2≠7-m}\end{array}\right.$，
解得2＜m＜7，且m$≠\frac{9}{2}$．
（II）当m=6时，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
∴以a²=4，即a=2．
则△ABF₂周长L=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a=8．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．