Question

某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元．根据需要，A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．
（1）写出一天中A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示），
（2）如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？

Answer 1

（1）依题意，A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组如下：

2x+3y≤60 x≥6 y≥4

…（3分）
画出的平面区域如图．…（6分）
（2）设餐馆加工这两种蔬菜利润为z元，则目标函数为z=2x+y…（7分）
∵y=-2x+z∴z表示过可行域内点斜率为-2的一组平行线在y轴上的截距．
联立

2x+3y=60 y=4

解得

x=24 y=4

即B（24，4）…（9分）
∴当直线过点B（24，4）时，在y轴上的截距最大，
即z_max=2×24+4=52…（11分）
答：餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．…（12分）