Question

已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°.

（1）求证：BD⊥平面ADC；

（2）若H是△ABC的垂心，求证：H是D在平面ABC内的射影.

Answer 1

证明：(1)∵BD⊥AD,BD⊥DC,AD∩DC=D,∴BD⊥面ADC.?

 (2)由(1)知BD⊥AC.?

∵AD=BD=CD,∠ADB=∠BDC=90°,∴AB=AC.?

又∵∠BAC=60°,?

∴△ABC为等边三角形.?

∴AB=BC=AC.?

∴可得∠ADC=90°.?

同理可证AD⊥面BCDAD⊥BC.?

∴.?

∴.?

∴=0.?

∴DH⊥面ABC.?

∴H是D在面ABC内的射影.