题目内容

已知θ∈(0，
π
2
)，a＞b＞0，f(θ)=
a2
cos2θ
+
b2
sin2θ
，则f（θ）的最小值为
（a+b）2
（a+b）2
．
分析：利用同角三角函数间的基本关系把f（θ）两项的分子中的“1”变形为sin2θ+cos2θ，利用分数加法运算的逆运算进行化简，根据基本不等式即可求出f（θ）的最小值．
解答：解：∵0＜α＜
π
2
，a＞b＞0，
∴f(θ)=
a2
cos2θ
+
b2
sin2θ

=
a2(cos2θ+sin2θ)
cos2θ
+
b2(cos2θ+sin2θ)
sin2θ
=a2+
a2sin2θ
cos2θ
+b2+
b2cos2θ
sin2θ

≥a2+b2+2ab=（a+b）2，
当且仅当
a2sin2θ
cos2θ
=
b2cos2θ
sin2θ
时，等号成立，
则f（θ）的最小值为（a+b）2．
故答案为：（a+b）2
点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，基本不等式以及完全平方公式的运用，式子的变形是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
①已知tanα=1，α∈(0，
π
2
)，求
2cos2
α
2
-sinα-1
2
sin(
π
4
+α)
的值；
②已知θ∈(0，
π
2
)，且sin(
π
4
+θ)=
3
2
，求sin（
π
4
+2θ）的值．
已知α∈(0，
π
2
)，tan(π-α)=-
3
4
，则sinα=
 
．
已知0≤θ＜2π，复数
i
cosθ+isinθ
＞0，则θ的值是（　　）
已知θ∈(0，
π
2
)，sinθ-cosθ=
2
2
，则cos2θ=
-
3
2
-
3
2
．
已知0≤x≤
π
2
，则函数y=cos（
π
12
-x）+cos（
5π
12
+x）的值域是
[-
2
2
，
6
2
]
[-
2
2
，
6
2
]
．

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