Question

若不等式x-1≤x²+ax+b≤x（a≠1）的解集中恰有一个元素，则

a(2a-3)

b

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由不等式不等式x-1≤x²+ax+b≤x（a≠1）的解集中恰有一个元素，分析a、b所满足的条件，再求

a(2a-3)

b

的最大值．

解答： 解：由x-1≤x²+ax+b≤x，得：x²+ax-x+b+1≥0，x²+ax-x+b≤0
不等式x-1≤x²+ax+b≤x（a≠1）的解集中恰有一个元素，
∴（a-1）²-4（b+1）≤0且（a-1）²-4b=0，
∴b=

(a-1)2

4

，
∴

a(2a-3)

b

=

4a(2a-3)

(a-1)2

，
令t=a-1，则

a(2a-3)

b

=

4(t+1)(2t-1)

t2

=4（2+

1

t

-

1

t2

）=-4（

1

t

-

1

2

）²+9，
∴

1

t

=

1

2

时，

a(2a-3)

b

的最大值为9．
故答案为：9．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次函数的性质，考察了数形结合思想和数学转化思想，解答此题的关键是由不等式x-1≤x²+ax+b≤x（a≠1）的解集中恰有一个元素得到a和b的关系，此题是中档题．