Question

6．三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=$\sqrt{3}$，则该三棱锥外接球的表面积为5π．

Answer 1

分析 根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P-ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB$\sqrt{5}$得外接球半径，从而得到所求外接球的表面积．

解答 解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P-ABC的外接球直径；
∵Rt△PBA中，AB=$\sqrt{2}$，PA=$\sqrt{3}$，
∴PB=$\sqrt{5}$，可得外接球半径R=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴外接球的表面积S=4πR²=5π．
故答案为5π．

点评 本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．