Question

（本题满分14分）如图，四棱锥的底面为矩形，且，

，，

 （Ⅰ）平面与平面是否垂直？并说明理由；

 （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）见解析；（Ⅱ）.

【解析】本试题主要是考查了面面垂直和线面角的求解的综合运用。

（1）第一问中要证明面面垂直关键是证明线面垂直，然后利用判定定理得到。

（2）第二问先根据线面角的定义，作出线面角，然后利用直角三角形的边角的关系求解的得到。

 

 （I）平面平面；    …………………1分

证明：由题意得且 

 又，则     …………………………3分

 则平面,                   ………………5分

 故平面平面              ………………7分

（Ⅱ）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立

空间直角坐标系如右图示，则,, 可得,  9分

平面ABCD的单位法向量为，           ……………………………………11分

设直线PC与平面ABCD所成角为，则  13分

则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 ……………………………14分

解法2：

由（I）知平面，∵面

∴平面ABCD⊥平面PAB,                                 …………………………9分

在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD，连结EC，

则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角，               …………………………11分

在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,

又

∴ …………………………13分

在Rt△PEC中.………………14分